微积分基础导论:简易积分

引入

假如知道一头猪各个微小部分的密度$\rho$,怎么求总质量?

$$M=\sum\Delta m_i=\int dm=\int\rho(\vec{r})dV$$

由此,便引入了不定积分记号

例1

一根一维细棒,其单位长度的线密度$\rho(x)=Ax^4$,求总质量:

$$M=\int_{0}^{l_0}\rho(x)dx$$

由此,又引入了定积分记号.

其中:

运算

求不定积分,即求原函数

定义:若$F'(x)=f(x)$,则称$F(x)$为$f(x)$的原函数.

容易知道,原函数是不唯一的,其常数项是任意的.

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

例2

通过观察,求下列函数的不定积分.

(1)$\int5x^3dx$ $$=\frac{5}{4}x^4+C$$ (2)$\int\sin3x dx$ $$=-\frac{1}{3}\cos3x+C$$ (3)$\int\frac{4}{x}dx$ $$=4\ln x+C$$ (4)$\int7\cos2xdx$ $$=\frac{7}{2}\sin 2x$$ 以下为常用的不定积分表:

\begin{gathered} % 高中物理竞赛常用积分表 % ============ 基本积分 ============ \int x^n\,dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \quad n\neq -1 \\ \int \frac{1}{x}\,dx &= \ln|x|+C \\ \int e^{ax}\,dx &= \frac{1}{a}e^{ax}+C \\ \int a^{x}\,dx &= \frac{a^x}{\ln a}+C \\ \int \ln x\,dx &= x\ln x - x+C \\ % ============ 三角函数 ============ \int \sin x\,dx &= -\cos x+C \\ \int \cos x\,dx &= \sin x+C \\ \int \tan x\,dx &= -\ln|\cos x|+C \\ \int \sin^2 x\,dx &= \frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C \\ \int \cos^2 x\,dx &= \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C \\ \int \sin(ax)\,dx &= -\frac{\cos(ax)}{a}+C \\ \int \cos(ax)\,dx &= \frac{\sin(ax)}{a}+C \\ % ============ 有理/根式 ============ \int \frac{dx}{x^2+a^2} &= \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\ \int \frac{dx}{x^2-a^2} &= \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \\ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} &= \arcsin\frac{x}{a}+C \\ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} &= \ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \\ \int \sqrt{a^2-x^2}\,dx &= \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C \\ % ============ 高频定积分 ============ \int_0^\infty e^{-ax}\,dx &= \frac{1}{a} \\ \int_0^\infty x^n e^{-ax}\,dx &= \frac{n!}{a^{n+1}} \\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx &= \sqrt{\pi} \\ \int_0^{\pi} \sin^2\theta\,d\theta = \int_0^{\pi}\cos^2\theta\,d\theta &= \frac{\pi}{2} \\ \int_0^{2\pi} \sin^2\theta\,d\theta = \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta &= \pi \\ % ============ 分部积分 ============ \int u\,dv &= uv - \int v\,du \\ \int x e^{ax}\,dx &= \frac{e^{ax}}{a}\left(x-\frac{1}{a}\right)+C \\ \int x\sin(ax)\,dx &= \frac{\sin(ax)}{a^2}-\frac{x\cos(ax)}{a}+C \\ \int x\cos(ax)\,dx &= \frac{\cos(ax)}{a^2}+\frac{x\sin(ax)}{a}+C \\ \int e^{ax}\sin(bx)\,dx &= \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2}+C \\ \int e^{ax}\cos(bx)\,dx &= \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2}+C \end{gathered}

说明

为什么求积分就是求原函数的过程?

$$\int_{x_0}^{x_1} f(x)dx=\sum_{x_0}^{x_1}f(x)dx=\sum\Delta S$$

而$\frac{dF(x)}{dx}=f(x),$即$dF(x)=f(x)dx$,故:

$$\int_{x_0}^{x_1} f(x)dx=S=\sum dF(x)=F(x_1)-F(x_0)$$

记作: $$\int_{x_0}^{x_1} f(x)dx=\left.F(x\right)|_{x_0}^{x_1}$$ 不难看出,如果定积分上下限交换,则结果变为相反数.

例3

(1)$\int_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{red}{-1}}(a+bx^2)dx$

原函数$F(x)=ax+\frac{b}{3}x^3+C$ $$\int_{0}^{-1}(a+bx^2)dx=F(-1)-F(0)=-a-\frac{b}{3}$$ (2)$\int_{a}^{b}\sin(kt+\phi_0)dt$

原函数$F(x)=-\frac{1}{k}\cos(kt+\phi_0)+C$ $$\int_{a}^{b}\sin(kt+\phi_0)dt=F(b)-F(a)=...$$ (3)$\int_{a}^{2a}\frac{1}{(x+a)^2}dx$

原函数$F(x)=-(x+a)^{-1}+C$ $$\int_{a}^{2a}\frac{1}{(x+a)^2}dx=F(2a)-F(a)=\frac{1}{6a}$$ (4)$\int_{1}^{5}\frac{dx}{x^2+7x+12}$

把被积函数写成部分分式: $$\frac{1}{x^2+7x+12}=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4}$$ 原函数$F(x)=\ln(x+3)-\ln(x+4)+C$ $$\int_{1}^{5}\frac{dx}{x^2+7x+12}=F(5)-F(1)=\ln8-\ln9-\ln4+\ln5=\ln2-2\ln3+\ln5$$ (5)$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx$

使用第二类换元法:

令$x=\cos\theta,\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$

则$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\int^{\textcolor{red}{0}}_{\textcolor{red}{\frac{\pi}{2}}}\sin\theta d(\cos\theta)=-\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^2\theta=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{\cos2\theta-1}{2}$

原函数$F(x)=\frac{1}{4}\sin2x-\frac{x}{2}+C$ $$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=F(0)-F(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{4}$$ 换元法:换掉$x,dx$和积分上下限.

例4

有一块均匀硬纸板，其形状为$y=-x^2+4$与x轴所围成的图形

(1)求总面积

(2)求重心$(x_c,y_c)$的面积

Note:积分式中，$\int f(x)dx$中的$dx$天然存在

(1)竖着切

$$\begin{gathered} dS=(4-x^2)dx\\ S=\int dS=\int_{-2}^{+2}(4-x^2)dx=\left( -\frac{1}{3}x^3+4x \right)|_{-2}^{+2}=\frac{32}{3} \end{gathered}$$

(2)横着切

由于图形左右对称，则$x_c=0$，又由重心定义:

$$\begin{gathered} y_c=\frac{\Sigma{m_iy_i}}{\Sigma{m_i}}\\ \frac{\Sigma{m_iy_i}}{\Sigma{m_i}}\\ =\frac{\Sigma{S_iy_i}}{\Sigma{S_i}}\\ =\frac{\int_{0}^{+4}2y\sqrt{4-y}dy}{\frac{32}{3}} \end{gathered}$$

法一

重点是计算$\int_{0}^4y\sqrt{4-y}dy$

利用三角换元化简代数关系：

令$y=4\sin^2\theta,\theta\in[0,\frac{\pi}{2}],dy=8\sin\theta\cos\theta d\theta$

$$\begin{gathered} \int_{0}^4y\sqrt{4-y}dy\\ =64\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta\\ =-64\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cos^2\theta d\cos\theta\\ =64\int_{0}^{1}(1-u^2)u^2du\\ =64\left(\frac{1}{3}u^3-\frac{1}{5}u^5\right)|_{0}^{1}\\ =\frac{128}{15} \end{gathered}$$

$$y_c=\frac{2\frac{128}{15}}{\frac{32}{3}}=\frac{8}{5}$$

法二

$$y_c=\frac{\int 2xydy}{S}$$

由于$y=4-x^2,dy=-2xdx,x\in[0,2]$,故:

注意，积分换元不能改变原变量的范围，并且新变量应该与原变量一一对应.

$$\begin{gathered} y_c=\frac{\int_{+2}^{0}4x^2(4-x^2)dx}{S}\\ =\frac{\left(\frac{4}{5}x^5-\frac{16}{3}x^3\right)|_{+2}^{0}}{S}\\ =\frac{8}{5} \end{gathered}$$

例5

求n维球的表"面积"和"体积"

我们定义，球是所有到O点的距离小于等于R的点构成的集合.

不难看出，一维的球为一条线段;二维的球为一个圆饼;三维的球就是常规意义的球

接下来，我们定义这些球的面积与体积:

n维球的体积$V_n$，即占有的空间与单位空间的比值

由常识不难得出： $$V_1(R)=2R,V_2(R)=\pi R^2,V_3(R)=\frac{4}{3}\pi R^3$$ 但研究4,5维球时，我们的常识就失去了作用.

为了解决更高维的问题，我们诉诸于对低维度球的重新思考：

从一维球到二维球

对于二维球，在$\theta,\theta+d\theta$处各切一刀

$$\begin{gathered} dV_2=V_1(R\sin\theta)dl\\ =2R\sin\theta(R\sin\theta d\theta)\\ V_2=\int dV_2=\int_{0}^\pi 2R^2\sin^2\theta d\theta\\ =R^2\int_0^\pi (1-\cos2\theta)d\theta\\ =R^2\left(\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta\right)|_0^\pi\\ =\pi R^2 \end{gathered}$$

从二维球到三维球

继续计算三维球的体积:

类似的，在$\theta,\theta+d\theta$处各切一刀

$$\begin{gathered} dV_3=V_2(R\sin\theta)dl\\ =\pi R^2\sin^2\theta(R\sin\theta d\theta)\\ =\pi R^3\sin^3\theta d\theta\\ V_3=\int dV_3\\ =\int_{0}^\pi \pi R^3\sin^3\theta d\theta\\ =-\pi R^3\int_{0}^\pi (1-\cos^2\theta)d\cos\theta\\ =\pi R^3\int_{-1}^{+1}(1-u^2)du\\ =\pi R^3\left(u-\frac{1}{3}u^3\right)|_{-1}^{1}\\ =\frac{4}{3}\pi R^3 \end{gathered}$$

对于三角函数积分，有如下的二级结论：

• 奇次幂：换元
• 偶次幂：倍角公式

从三维球到四维球

激动人心的时刻到了，仿照之前的解法:

$$\begin{gathered} dV_4=V_3(R\sin\theta)(R\sin\theta d\theta)\\ =\frac{4}{3}\pi R^4\sin^4\theta d\theta\\ V_4=\int dV_4\\ =\frac{4}{3}\pi R^4\int_{0}^\pi \sin^4\theta d\theta\\ =\frac{4}{3}\pi R^4\int_{0}^\pi (\frac{1-\cos2\theta}{2})^2\\ =\frac{1}{3}\pi R^4\int_{0}^\pi (\cos^2\theta-2\cos\theta+1)d\theta\\ =\frac{1}{3}\pi R^4\int_{0}^\pi (\frac{1}{2}\cos4\theta-2\cos2\theta+\frac{3}{2})d\theta\\ =\frac{1}{3}\pi R^4\left(\frac{1}{8}\sin4\theta-\sin2\theta+\frac{3}{2}\theta\right)|_{0}^{\pi}\\ =\frac{1}{2}\pi^2 R^4 \end{gathered}$$

例6

有一个人向旗杆上爬，向上爬的速度为$v=\frac{c}{a+bh}$,其中a,b,c均为常量.

求这个人从高度为0爬到高度为$h_0$所需的时间.

$$\begin{gathered} dt=\frac{dh}{v}=\frac{dh}{\frac{c}{a+bh}}\\ t=\int dt\\ =\int_{0}^{h_0}\frac{a+bh}{c}dh\\ =\left(\frac{a}{c}h+\frac{b}{2c}h^2\right)|_0^{h_0}\\ =\frac{a}{c}h_0+\frac{b}{2c}h_0^2 \end{gathered}$$

例7

一水平运动小球质量为$m$,初速度为$v_0$,受阻力$f=-kv$.

(1)球停止时的位移$x$

(2)任意$t$时刻的速度$v$与位移$x$

(1)

牛顿第二定律：$a=\frac{f}{m}=-\frac{k}{m}v$

即：$\frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}\frac{dx}{dt}$

所以$dv=-\frac{k}{m}dx$ $$\boxed{dv=-\frac{k}{m}dx}$$ (Aha)第一个微分方程出现了!

由于x,v一一对应，所以对等式两边积分，从开始到停下:

$$\begin{gathered} \int_{v_0}^0dv=-\frac{k}{m}\int_0^{x_0}dx\\ -v_0=-\frac{k}{m}x_0\\ x_0=\frac{mv_0}{k} \end{gathered}$$

(2)在上一问中，我们消去了$dt$,留下了$dv,dx$.

为了求出$v(t),x(t)$，不能消去$dt$

$$\begin{gathered} \frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}v\\ dt=-\frac{m}{k}\frac{1}{v}dv\\ \int_{0}^tdt=-\frac{m}{k}\int_{v_0}^v\frac{1}{v}dv\\ t=-\frac{m}{k}\ln \frac{v}{v_0}\\ v(t)=v_0e^\frac{-kt}{m} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x(t)=\int_0^tv(t)dt\\ =v_0\int_0^te^\frac{-kt}{m}dt\\ =v_0\left(-\frac{m}{k}e^\frac{-kt}{m}\right)|_0^t\\ =v_0(-\frac{m}{k}e^{-\frac{kt}{m}}+\frac{m}{k}) \end{gathered}\\ =\frac{mv_0}{k}(1-e^{\frac{-kt}{m}})$$

Sonnet 4.6

核心内容

文章从物理问题出发（如求质量、位移），自然地引入不定积分与定积分的概念，再通过大量例题展示积分的实际运算方法。

主要知识点

文章涵盖：不定积分（求原函数）与定积分的定义；常用积分公式表；换元法（三角换元、代数换元）与分部积分；以及牛顿-莱布尼茨公式的几何直觉。

例题体系

例题由浅入深，从基础的多项式、三角函数积分，逐步过渡到：抛物线形硬纸板的面积与重心计算；n 维球体积的递推推导（1 维到 4 维）；物理应用（爬杆问题、阻力运动问题），其中阻力运动一题还自然引出了第一个微分方程。

风格特点

行文轻松（"一头猪"的引入）、物理直觉与数学推导并重，适合有一定高中数学基础、正在备赛物理竞赛的学生阅读。