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title: 微积分基础导论:简易积分
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date: 2026-05-22T16:39:58+08:00
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  name: SunIsAlex
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description: 从质量积分出发，系统介绍不定积分与定积分的概念、常用公式及换元法，并通过重心计算、n维球体积推导、阻力运动等物理例题，展示积分在竞赛物理中的实际应用。
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  - 物理竞赛
  - 微积分
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  - 物理
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# See details front matter: https://fixit.lruihao.cn/documentation/content-management/introduction/#front-matter
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<!--more-->
## 引入
假如知道一头猪各个微小部分的密度$\rho$,怎么求总质量?

$$
M=\sum\Delta m_i=\int dm=\int\rho(\vec{r})dV
$$

由此,便引入了**不定积分**记号

### 例1
一根一维细棒,其单位长度的线密度$\rho(x)=Ax^4$,求总质量:

$$
M=\int_{0}^{l_0}\rho(x)dx
$$

由此,又引入了**定积分**记号.

其中:

| 被积函数 | 积分变量 | 积分符号 | 上,下限 |
| --- | --- | ---| --- |
| $\rho(x)$ | $x$ | $\int$ | $l_0,0$ |

## 运算
求**不定积分**,即求**原函数**

定义:若$F'(x)=f(x)$,则称$F(x)$为$f(x)$的**原函数**.

容易知道,**原函数**是不唯一的,其常数项是任意的.

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

### 例2
通过观察,求下列函数的不定积分.

(1)$\int5x^3dx$

$=\frac{5}{4}x^4+C$

(2)$\int\sin3x dx$

$=-\frac{1}{3}\cos3x+C$

(3)$\int\frac{4}{x}dx$

$=4\ln x+C$

(4)$\int7\cos2xdx$

$=\frac{7}{2}\sin 2x$

以下为常用的不定积分表:

$$
\begin{gathered}
  % 高中物理竞赛常用积分表
% ============ 基本积分 ============
\int x^n\,dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \quad n\neq -1 \\
\int \frac{1}{x}\,dx &= \ln|x|+C \\
\int e^{ax}\,dx &= \frac{1}{a}e^{ax}+C \\
\int a^{x}\,dx &= \frac{a^x}{\ln a}+C \\
\int \ln x\,dx &= x\ln x - x+C \\
% ============ 三角函数 ============
\int \sin x\,dx &= -\cos x+C \\
\int \cos x\,dx &= \sin x+C \\
\int \tan x\,dx &= -\ln|\cos x|+C \\
\int \sin^2 x\,dx &= \frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C \\
\int \cos^2 x\,dx &= \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C \\
\int \sin(ax)\,dx &= -\frac{\cos(ax)}{a}+C \\
\int \cos(ax)\,dx &= \frac{\sin(ax)}{a}+C \\
% ============ 有理/根式 ============
\int \frac{dx}{x^2+a^2} &= \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\
\int \frac{dx}{x^2-a^2} &= \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \\
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} &= \arcsin\frac{x}{a}+C \\
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} &= \ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \\
\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx &= \frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C \\
% ============ 高频定积分 ============
\int_0^\infty e^{-ax}\,dx &= \frac{1}{a} \\
\int_0^\infty x^n e^{-ax}\,dx &= \frac{n!}{a^{n+1}} \\
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx &= \sqrt{\pi} \\
\int_0^{\pi} \sin^2\theta\,d\theta = \int_0^{\pi}\cos^2\theta\,d\theta &= \frac{\pi}{2} \\
\int_0^{2\pi} \sin^2\theta\,d\theta = \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta &= \pi \\
% ============ 分部积分 ============
\int u\,dv &= uv - \int v\,du \\
\int x e^{ax}\,dx &= \frac{e^{ax}}{a}\left(x-\frac{1}{a}\right)+C \\
\int x\sin(ax)\,dx &= \frac{\sin(ax)}{a^2}-\frac{x\cos(ax)}{a}+C \\
\int x\cos(ax)\,dx &= \frac{\cos(ax)}{a^2}+\frac{x\sin(ax)}{a}+C \\
\int e^{ax}\sin(bx)\,dx &= \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2}+C \\
\int e^{ax}\cos(bx)\,dx &= \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2}+C
\end{gathered}
$$

### 说明
为什么**求积分**就是**求原函数**的过程?

$$\int_{x_0}^{x_1} f(x)dx=\sum_{x_0}^{x_1}f(x)dx=\sum\Delta S$$

而$\frac{dF(x)}{dx}=f(x),$即$dF(x)=f(x)dx$,故:

$$\int_{x_0}^{x_1} f(x)dx=S=\sum dF(x)=F(x_1)-F(x_0)$$

记作:

$\int_{x_0}^{x_1} f(x)dx=\left.F(x\right)|_{x_0}^{x_1}$

不难看出,如果定积分上下限交换,则结果变为相反数.

![alt text](image.png)

### 例3
(1)$\int_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{red}{-1}}(a+bx^2)dx$

原函数$F(x)=ax+\frac{b}{3}x^3+C$

$\int_{0}^{-1}(a+bx^2)dx=F(-1)-F(0)=-a-\frac{b}{3}$

(2)$\int_{a}^{b}\sin(kt+\phi_0)dt$

原函数$F(x)=-\frac{1}{k}\cos(kt+\phi_0)+C$

$\int_{a}^{b}\sin(kt+\phi_0)dt=F(b)-F(a)=...$

(3)$\int_{a}^{2a}\frac{1}{(x+a)^2}dx$

原函数$F(x)=-(x+a)^{-1}+C$

$\int_{a}^{2a}\frac{1}{(x+a)^2}dx=F(2a)-F(a)=\frac{1}{6a}$

(4)$\int_{1}^{5}\frac{dx}{x^2+7x+12}$

把被积函数写成**部分分式**:

$\frac{1}{x^2+7x+12}=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4}$

原函数$F(x)=\ln(x+3)-\ln(x+4)+C$

$\int_{1}^{5}\frac{dx}{x^2+7x+12}=F(5)-F(1)=\ln8-\ln9-\ln4+\ln5=\ln2-2\ln3+\ln5$

(5)$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx$

使用第二类换元法:

令$x=\cos\theta,\theta\in [0,\frac{\pi}{2}]$

则$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\int^{\textcolor{red}{0}}_{\textcolor{red}{\frac{\pi}{2}}}\sin\theta d(\cos\theta)=-\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^2\theta=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{\cos2\theta-1}{2}$

原函数$F(x)=\frac{1}{4}\sin2x-\frac{x}{2}+C$

$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=F(0)-F(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{4}$

换元法:换掉$x,dx$和积分上下限.

### 例4
![alt text](image-2.png)

有一块均匀硬纸板，其形状为$y=-x^2+4$与x轴所围成的图形

(1)求总面积

(2)求重心$(x_c,y_c)$的面积

Note:积分式中，$\int f(x)dx$中的$dx$天然存在

(1)竖着切

$$
\begin{gathered}
dS=(4-x^2)dx\\
S=\int dS=\int_{-2}^{+2}(4-x^2)dx=\left( -\frac{1}{3}x^3+4x \right)|_{-2}^{+2}=\frac{32}{3}
\end{gathered}
$$

(2)横着切 

由于图形左右对称，则$x_c=0$，又由重心定义:

$$
\begin{gathered}
y_c=\frac{\Sigma{m_iy_i}}{\Sigma{m_i}}\\
\frac{\Sigma{m_iy_i}}{\Sigma{m_i}}\\
=\frac{\Sigma{S_iy_i}}{\Sigma{S_i}}\\
=\frac{\int_{0}^{+4}2y\sqrt{4-y}dy}{\frac{32}{3}}  
\end{gathered}
$$

#### 法一

重点是计算$\int_{0}^4y\sqrt{4-y}dy$

利用三角换元化简代数关系：

令$y=4\sin^2\theta,\theta\in[0,\frac{\pi}{2}],dy=8\sin\theta\cos\theta d\theta$

$$
\begin{gathered}
\int_{0}^4y\sqrt{4-y}dy\\
=64\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta\\
=-64\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\cos^2\theta d\cos\theta\\
=64\int_{0}^{1}(1-u^2)u^2du\\
=64\left(\frac{1}{3}u^3-\frac{1}{5}u^5\right)|_{0}^{1}\\
=\frac{128}{15}  
\end{gathered}
$$

$$
y_c=\frac{2\frac{128}{15}}{\frac{32}{3}}=\frac{8}{5}
$$

#### 法二
$$
y_c=\frac{\int 2xydy}{S}
$$

由于$y=4-x^2,dy=-2xdx,x\in[0,2]$,故:

注意，积分换元不能改变原变量的范围，并且新变量应该与原变量一一对应.

$$
\begin{gathered}
y_c=\frac{\int_{+2}^{0}4x^2(4-x^2)dx}{S}\\
=\frac{\left(\frac{4}{5}x^5-\frac{16}{3}x^3\right)|_{+2}^{0}}{S}\\
=\frac{8}{5}
\end{gathered}
$$

### 例5
求n维球的表"面积"和"体积"

我们定义，球是所有到O点的距离小于等于R的点构成的集合.

不难看出，一维的球为一条线段;二维的球为一个圆饼;三维的球就是常规意义的球

接下来，我们定义这些球的面积与体积:

n维球的体积$V_n$，即**占有的空间**与**单位空间**的比值

由常识不难得出：

$V_1(R)=2R,V_2(R)=\pi R^2,V_3(R)=\frac{4}{3}\pi R^3$

但研究4,5维球时，我们的常识就失去了作用.

为了解决更高维的问题，我们诉诸于对低维度球的重新思考：

#### 从一维球到二维球
对于二维球，在$\theta,\theta+d\theta$处各切一刀

![alt text](image-3.png)

$$\begin{gathered}
  dV_2=V_1(R\sin\theta)dl\\
  =2R\sin\theta(R\sin\theta d\theta)\\
   V_2=\int dV_2=\int_{0}^\pi 2R^2\sin^2\theta d\theta\\
   =R^2\int_0^\pi (1-\cos2\theta)d\theta\\
   =R^2\left(\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta\right)|_0^\pi\\
   =\pi R^2
\end{gathered}$$

#### 从二维球到三维球

继续计算三维球的体积:

类似的，在$\theta,\theta+d\theta$处各切一刀

$$\begin{gathered}
  dV_3=V_2(R\sin\theta)dl\\
  =\pi R^2\sin^2\theta(R\sin\theta d\theta)\\
  =\pi R^3\sin^3\theta d\theta\\
  V_3=\int dV_3\\
  =\int_{0}^\pi \pi R^3\sin^3\theta d\theta\\
  =-\pi R^3\int_{0}^\pi (1-\cos^2\theta)d\cos\theta\\
  =\pi R^3\int_{-1}^{+1}(1-u^2)du\\
  =\pi R^3\left(u-\frac{1}{3}u^3\right)|_{-1}^{1}\\
  =\frac{4}{3}\pi R^3
\end{gathered}$$

对于三角函数积分，有如下的二级结论：

- 奇次幂：换元
- 偶次幂：倍角公式

#### 从三维球到四维球
激动人心的时刻到了，仿照之前的解法:

$$\begin{gathered}
  dV_4=V_3(R\sin\theta)(R\sin\theta d\theta)\\
  =\frac{4}{3}\pi R^4\sin^4\theta d\theta\\
  V_4=\int dV_4\\
  =\frac{4}{3}\pi R^4\int_{0}^\pi \sin^4\theta d\theta\\
  =\frac{4}{3}\pi R^4\int_{0}^\pi (\frac{1-\cos2\theta}{2})^2\\
  =\frac{1}{3}\pi R^4\int_{0}^\pi (\cos^2\theta-2\cos\theta+1)d\theta\\
  =\frac{1}{3}\pi R^4\int_{0}^\pi (\frac{1}{2}\cos4\theta-2\cos2\theta+\frac{3}{2})d\theta\\
  =\frac{1}{3}\pi R^4\left(\frac{1}{8}\sin4\theta-\sin2\theta+\frac{3}{2}\theta\right)|_{0}^{\pi}\\
  =\frac{1}{2}\pi^2 R^4
\end{gathered}$$

### 例6
![alt text](image-4.png)

有一个人向旗杆上爬，向上爬的速度为$v=\frac{c}{a+bh}$,其中a,b,c均为常量.

求这个人从高度为0爬到高度为$h_0$所需的时间.

$$
\begin{gathered}
  dt=\frac{dh}{v}=\frac{dh}{\frac{c}{a+bh}}\\
  t=\int dt\\
  =\int_{0}^{h_0}\frac{a+bh}{c}dh\\
  =\left(\frac{a}{c}h+\frac{b}{2c}h^2\right)|_0^{h_0}\\
  =\frac{a}{c}h_0+\frac{b}{2c}h_0^2
\end{gathered}
$$

### 例7
一水平运动小球质量为$m$,初速度为$v_0$,受阻力$f=-kv$.

(1)球停止时的位移$x$

(2)任意$t$时刻的速度$v$与位移$x$

(1)

牛顿第二定律：$a=\frac{f}{m}=-\frac{k}{m}v$

即：$\frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}\frac{dx}{dt}$

所以$dv=-\frac{k}{m}dx$

$\boxed{dv=-\frac{k}{m}dx}$

(Aha)第一个微分方程出现了!

由于x,v一一对应，所以对等式两边积分，从开始到停下:

$$\begin{gathered}
\int_{v_0}^0dv=-\frac{k}{m}\int_0^{x_0}dx\\
-v_0=-\frac{k}{m}x_0\\
x_0=\frac{mv_0}{k}
\end{gathered}
$$

(2)在上一问中，我们消去了$dt$,留下了$dv,dx$.

为了求出$v(t),x(t)$，不能消去$dt$

$$\begin{gathered}
\frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}v\\
dt=-\frac{m}{k}\frac{1}{v}dv\\
\int_{0}^tdt=-\frac{m}{k}\int_{v_0}^v\frac{1}{v}dv\\
t=-\frac{m}{k}\ln \frac{v}{v_0}\\
v(t)=v_0e^\frac{-kt}{m}
\end{gathered}$$

$$\begin{gathered}
x(t)=\int_0^tv(t)dt\\
=v_0\int_0^te^\frac{-kt}{m}dt\\
=v_0\left(-\frac{m}{k}e^\frac{-kt}{m}\right)|_0^t\\
=v_0(-\frac{m}{k}e^{-\frac{kt}{m}}+\frac{m}{k})
\end{gathered}\\
=\frac{mv_0}{k}(1-e^{\frac{-kt}{m}})$$

Sonnet 4.6
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**核心内容**

文章从物理问题出发（如求质量、位移），自然地引入不定积分与定积分的概念，再通过大量例题展示积分的实际运算方法。

**主要知识点**

文章涵盖：不定积分（求原函数）与定积分的定义；常用积分公式表；换元法（三角换元、代数换元）与分部积分；以及牛顿-莱布尼茨公式的几何直觉。

**例题体系**

例题由浅入深，从基础的多项式、三角函数积分，逐步过渡到：抛物线形硬纸板的面积与重心计算；n 维球体积的递推推导（1 维到 4 维）；物理应用（爬杆问题、阻力运动问题），其中阻力运动一题还自然引出了第一个微分方程。

**风格特点**

行文轻松（"一头猪"的引入）、物理直觉与数学推导并重，适合有一定高中数学基础、正在备赛物理竞赛的学生阅读。