超几何分布及其性质

定义

$X\sim{H(n,K,N)}$,称X服从超几何分布.

$$\boxed{P(X=k)=\frac{C_{K}^{k}C_{N-K}^{n-k}}{C_{N}^{n}}(k=0,1,2,...,n)}$$

预备知识

常用组合恒等式

1. $C_{n}^{k}=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}=\frac{n(n-1)}{k(k-1)}C_{n-2}^{k-2}=...$
2. $\sum_{k=0}^{r}C_{m}^{k}C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^{r}$

证明1:

$$\begin{gathered} C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\=\frac{n}{k}\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}\\=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}=\frac{n(n-1)}{k(k-1)}C_{n-2}^{k-2} \end{gathered}$$

证明2:

考虑这样一个情景:在m个男生和n个女生中选出r人$(r\le \min{m,n})$，不难发现2是算两次的结果.

补充一下，2正是著名的范德蒙德恒等式

随机变量的性质

$$\boxed{D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2}$$

从方差定义出发: $$\begin{gathered} D(X)=\sum_{i=0}^{n}p_i[X_i-E(X)]^2\\ =\sum_{i=0}^n(p_iX_i^2)-2E(X)\sum_{i=0}^n(p_iX_i)+[E(X)]^2\\ =E(X^2)-[E(X)]^2 \end{gathered}$$

性质

1. $E(X)=n\frac{K}{N}$
2. $D(X)=n\frac{K}{N}\frac{N-K}{N}\frac{N-n}{N-1}$

$$\begin{gathered} E(X)=\sum_{i=0}^n[P(X=i)i]\\ =\sum_{i=0}^n[\frac{C_{K}^{i}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}i]\\ \text{运用组合恒等式1消i}\\ =\sum_{i=1}^n[\frac{K}{i}\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}i]\\ =K\sum_{i=1}^n[\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]\\ \text{运用组合恒等式2}\\ =\frac{K}{C_{N}^n}C_{N-1}^{n-1}\\ \text{运用组合恒等式1}\\ =\frac{nK}{N} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} E(X^2)=\sum_{i=0}^n[P(X=i)i^2]\\ =\sum_{i=0}^n[\frac{C_{K}^{i}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}i^2]\\ \text{运用组合恒等式1消i}\\ =K\sum_{i=1}^n[\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}i]\\ =K\sum_{i=1}^n[(i-1+1)\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]\\ =K\sum_{i=1}^n[(i-1)\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}+\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]\\ \text{运用组合恒等式2}\\ =K\sum_{i=1}^n[(i-1)\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]+K\frac{C_{N-1}^{n-1}}{C_{N}^{n}}\\ =K\sum_{i=1}^n[(i-1)\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]+\frac{Kn}{N}\\ \text{运用组合恒等式1消i-1}\\ =K\sum_{i=2}^n[(K-1)\frac{C_{K-2}^{i-2}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]+\frac{Kn}{N}\\ \text{运用组合恒等式2}\\ =K[(K-1)\frac{C_{N-2}^{n-2}}{C_{N}^{n}}]+\frac{Kn}{N}\\ =K(K-1)\frac{n(n-1)}{N(N-1)}+\frac{Kn}{N}\\ =\frac{Kn}{N}[\frac{(K-1)(n-1)}{N-1}+1]\\ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\\ =\frac{Kn}{N}[\frac{(K-1)(n-1)}{N-1}+1]-(\frac{Kn}{N})^2\\ =\frac{Kn}{N}[\frac{N^2-(K+n)N+Kn}{N(N-1)}]\\ =n\frac{K}{N}\frac{N-K}{N}\frac{N-n}{N-1} \end{gathered}$$

小结

至此,我们仅凭两条组合恒等式,就从分布律出发完整推出了

$$E(X)=n\frac{K}{N},\qquad D(X)=n\frac{K}{N}\cdot\frac{N-K}{N}\cdot\frac{N-n}{N-1}.$$

整个过程的关键有两点:一是反复使用恒等式 1 给组合数降阶,把带 $i$ 的求和项里的 $i$ 消掉;二是用范德蒙德恒等式把求和合并成单个组合数。计算方差时之所以把 $i^2$ 拆成 $(i-1)+1$,正是为了凑出 $i(i-1)$ 这个能再次降两阶的结构,本质上是在求阶乘矩 $E[X(X-1)]$。

记 $p=K/N$,结果可写成 $E(X)=np$、$D(X)=np(1-p)\cdot\dfrac{N-n}{N-1}$。对比二项分布的 $np(1-p)$,多出的因子 $\dfrac{N-n}{N-1}$ 称为有限总体修正因子——它小于 1,刻画了不放回抽样让方差变小的事实;当 $N\gg n$ 时该因子趋于 1,超几何分布便近似为二项分布。