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超几何分布及其性质

从定义出发,借助两条组合恒等式(降阶公式与范德蒙德恒等式)完整推导超几何分布的期望与方差,每一步都有据可循。

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定义

X∼H(n,K,N)X\sim{H(n,K,N)},称X服从超几何分布.

P(X=k)=CKkCN−Kn−kCNn(k=0,1,2,...,n)\boxed{P(X=k)=\frac{C_{K}^{k}C_{N-K}^{n-k}}{C_{N}^{n}}(k=0,1,2,...,n)}

预备知识

常用组合恒等式

  1. Cnk=nkCn−1k−1=n(n−1)k(k−1)Cn−2k−2=...C_{n}^{k}=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}=\frac{n(n-1)}{k(k-1)}C_{n-2}^{k-2}=...
  2. ∑k=0rCmkCnr−k=Cm+nr\sum_{k=0}^{r}C_{m}^{k}C_{n}^{r-k}=C_{m+n}^{r}

证明1:

Cnk=n!k!(n−k)!=nk(n−1)!(k−1)![(n−1)−(k−1)]!=nkCn−1k−1=n(n−1)k(k−1)Cn−2k−2\begin{gathered} C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\=\frac{n}{k}\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}\\=\frac{n}{k}C_{n-1}^{k-1}=\frac{n(n-1)}{k(k-1)}C_{n-2}^{k-2} \end{gathered}

证明2:

考虑这样一个情景:在m个男生和n个女生中选出r人(r≤min⁡m,n)(r\le \min{m,n})，不难发现2是算两次的结果.

补充一下，2正是著名的范德蒙德恒等式

随机变量的性质

D(X)=E(X2)−[E(X)]2\boxed{D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2}

从方差定义出发: D(X)=∑i=0npi[Xi−E(X)]2=∑i=0n(piXi2)−2E(X)∑i=0n(piXi)+[E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2\begin{gathered} D(X)=\sum_{i=0}^{n}p_i[X_i-E(X)]^2\\ =\sum_{i=0}^n(p_iX_i^2)-2E(X)\sum_{i=0}^n(p_iX_i)+[E(X)]^2\\ =E(X^2)-[E(X)]^2 \end{gathered}

性质

  1. E(X)=nKNE(X)=n\frac{K}{N}
  2. D(X)=nKNN−KNN−nN−1D(X)=n\frac{K}{N}\frac{N-K}{N}\frac{N-n}{N-1}

E(X)=∑i=0n[P(X=i)i]=∑i=0n[CKiCN−Kn−iCNni]运用组合恒等式1消i=∑i=1n[KiCK−1i−1CN−Kn−iCNni]=K∑i=1n[CK−1i−1CN−Kn−iCNn]运用组合恒等式2=KCNnCN−1n−1运用组合恒等式1=nKN\begin{gathered} E(X)=\sum_{i=0}^n[P(X=i)i]\\ =\sum_{i=0}^n[\frac{C_{K}^{i}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}i]\\ \text{运用组合恒等式1消i}\\ =\sum_{i=1}^n[\frac{K}{i}\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}i]\\ =K\sum_{i=1}^n[\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]\\ \text{运用组合恒等式2}\\ =\frac{K}{C_{N}^n}C_{N-1}^{n-1}\\ \text{运用组合恒等式1}\\ =\frac{nK}{N} \end{gathered}

E(X2)=∑i=0n[P(X=i)i2]=∑i=0n[CKiCN−Kn−iCNni2]运用组合恒等式1消i=K∑i=1n[CK−1i−1CN−Kn−iCNni]=K∑i=1n[(i−1+1)CK−1i−1CN−Kn−iCNn]=K∑i=1n[(i−1)CK−1i−1CN−Kn−iCNn+CK−1i−1CN−Kn−iCNn]运用组合恒等式2=K∑i=1n[(i−1)CK−1i−1CN−Kn−iCNn]+KCN−1n−1CNn=K∑i=1n[(i−1)CK−1i−1CN−Kn−iCNn]+KnN运用组合恒等式1消i-1=K∑i=2n[(K−1)CK−2i−2CN−Kn−iCNn]+KnN运用组合恒等式2=K[(K−1)CN−2n−2CNn]+KnN=K(K−1)n(n−1)N(N−1)+KnN=KnN[(K−1)(n−1)N−1+1]D(X)=E(X2)−[E(X)]2=KnN[(K−1)(n−1)N−1+1]−(KnN)2=KnN[N2−(K+n)N+KnN(N−1)]=nKNN−KNN−nN−1\begin{gathered} E(X^2)=\sum_{i=0}^n[P(X=i)i^2]\\ =\sum_{i=0}^n[\frac{C_{K}^{i}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}i^2]\\ \text{运用组合恒等式1消i}\\ =K\sum_{i=1}^n[\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}i]\\ =K\sum_{i=1}^n[(i-1+1)\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]\\ =K\sum_{i=1}^n[(i-1)\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}+\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]\\ \text{运用组合恒等式2}\\ =K\sum_{i=1}^n[(i-1)\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]+K\frac{C_{N-1}^{n-1}}{C_{N}^{n}}\\ =K\sum_{i=1}^n[(i-1)\frac{C_{K-1}^{i-1}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]+\frac{Kn}{N}\\ \text{运用组合恒等式1消i-1}\\ =K\sum_{i=2}^n[(K-1)\frac{C_{K-2}^{i-2}C_{N-K}^{n-i}}{C_{N}^{n}}]+\frac{Kn}{N}\\ \text{运用组合恒等式2}\\ =K[(K-1)\frac{C_{N-2}^{n-2}}{C_{N}^{n}}]+\frac{Kn}{N}\\ =K(K-1)\frac{n(n-1)}{N(N-1)}+\frac{Kn}{N}\\ =\frac{Kn}{N}[\frac{(K-1)(n-1)}{N-1}+1]\\ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\\ =\frac{Kn}{N}[\frac{(K-1)(n-1)}{N-1}+1]-(\frac{Kn}{N})^2\\ =\frac{Kn}{N}[\frac{N^2-(K+n)N+Kn}{N(N-1)}]\\ =n\frac{K}{N}\frac{N-K}{N}\frac{N-n}{N-1} \end{gathered}

小结

至此,我们仅凭两条组合恒等式,就从分布律出发完整推出了

E(X)=nKN,D(X)=nKN⋅N−KN⋅N−nN−1.E(X)=n\frac{K}{N},\qquad D(X)=n\frac{K}{N}\cdot\frac{N-K}{N}\cdot\frac{N-n}{N-1}.

整个过程的关键有两点:一是反复使用恒等式 1 给组合数降阶,把带 ii 的求和项里的 ii 消掉;二是用范德蒙德恒等式把求和合并成单个组合数。计算方差时之所以把 i2i^2 拆成 (i−1)+1(i-1)+1,正是为了凑出 i(i−1)i(i-1) 这个能再次降两阶的结构,本质上是在求阶乘矩 E[X(X−1)]E[X(X-1)]。

记 p=K/Np=K/N,结果可写成 E(X)=npE(X)=np、D(X)=np(1−p)⋅N−nN−1D(X)=np(1-p)\cdot\dfrac{N-n}{N-1}。对比二项分布的 np(1−p)np(1-p),多出的因子 N−nN−1\dfrac{N-n}{N-1} 称为有限总体修正因子——它小于 1,刻画了不放回抽样让方差变小的事实;当 N≫nN\gg n 时该因子趋于 1,超几何分布便近似为二项分布。