2027 年强基计划数学：均值不等式

例2.1

已知 $a > b > c$，使得不等式

$$\frac{1}{a-b} + \frac{1}{b-c} \geq \frac{k}{a-c}$$

恒成立的实数 $k$ 的最大值为______。

分母繁杂,换元分母:

$$\begin{gathered} a-b=x,b-c=y,a-c=x+y\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{(1+1)^2}{x+y}\Longrightarrow k\le4 \end{gathered}$$

例2.2

设 $a, b, c$ 是正实数，求证：

$$\frac{a + 3c}{a + 2b + c} + \frac{4b}{a + b + 2c} - \frac{8c}{a + b + 3c} \geq 12\sqrt{2} - 17.$$

分母繁杂,换元分母:

$$\begin{gathered} a+2b+c=x,a+b+2c=y,a+b+3c=z\\ \begin{cases} a=-x+5y-3z,\\ b=x-2y+z,\\ c=0x-y+z \end{cases}\\ \frac{-x+2y}{x}+\frac{4x-8y+4z}{y}+\frac{8y-8z}{z}\\ =-17+2\frac{y}{x}+4\frac{x}{y}+4\frac{z}{y}+8\frac{y}{z}\\ \ge-17+2\sqrt{2\cdot4}+2\sqrt{4\cdot8}=-17+12\sqrt{2} \end{gathered}$$

例2.3

已知 $a > b > 0$，那么 $a^2 + \frac{1}{b(a-b)}$ 的最小值为

A. 2

B. 4

C. $2\sqrt{5}$

D. 5

先考虑b: $$\begin{gathered} a^2 + \frac{1}{b(a-b)}\\ \ge a^2+\frac{4}{a^2}\ge4 \end{gathered}$$

或者考虑增量代换:

$$\begin{gathered} b=x,a=x+y\\ (x+y)^2+\frac{1}{xy}\\ \ge4xy+\frac{1}{xy}\ge4 \end{gathered}$$

例2.4

（2012 清华夏令营）已知 $a, b, c$ 是三角形 $\triangle ABC$ 的三条边的边长，则以下判断正确的是

A. $\frac{3}{2} \leq \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} < 2$

B. $\frac{3}{2} \lt \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} < 2$

C. $\frac{3}{2} \lt \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \leq 2$

D. $\frac{3}{2} \leq \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \leq 2$

$$\begin{gathered} a\lt b+c\Longrightarrow \frac{2a}{a+b+c}\gt\frac{a}{b+c}\\ \end{gathered}$$

轮换 $a \to b \to c \to a$，得到：

$$b < c+a \quad\Longrightarrow\quad \frac{2b}{a+b+c} > \frac{b}{c+a}$$

$$c < a+b \quad\Longrightarrow\quad \frac{2c}{a+b+c} > \frac{c}{a+b}$$

累加:$S\lt2$

下面考虑下界,仍然故技重施,换元分母,使用AM-GM不等式:

$$\begin{gathered} b+c=x,c+a=y,a+b=z\\ S=\frac{\frac{y+z-x}{2}}{x}+\frac{\frac{z+x-y}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y-z}{2}}{z}\\ =\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z})-\frac{3}{2}\\ \ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

选A.

例2.5

若正数 $x, y$ 满足 $x^2 + 2xy - 1 = 0$，则 $2x + y$ 的最小值是

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} 2x+y=u,y=u-2x\\ x^2+2(u-2x)x-1=0\\ 3x^2-2ux+1=0\\ \Delta=4u^2-12\ge0\\ u\ge\sqrt{3}(x=y=\frac{\sqrt{3}}{3}) \end{gathered}$$

或者考虑换元: $$\begin{gathered} x(x+2y)=1\\ 2x+y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}(x+2y)\ge\sqrt{3x(x+2y)}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

例2.6

若正数 $a, b, c$ 满足 $a(a+b+c)+bc=4$，则式子 $3a+2b+c$ 的最小值为______。

$$\begin{gathered} a^2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)=4\\ 3a+2b+c=2(a+b)+(a+c)\\\ge2\sqrt{2(a+b)(a+c)}=4\sqrt{3} \end{gathered}$$

例2.7

设 $x, y, z > 0$，则

$$\frac{xy + 2yz}{x^2 + y^2 + z^2}$$

的最大值为______。

$$\begin{gathered} \frac{xy + 2yz}{x^2 + y^2 + z^2}\\ =\frac{xy + 2yz}{x^2 + \frac{1}{5}y^2+\frac{4}{5}y^2 + z^2}\\ \le \frac{xy+2yz}{2\sqrt{\frac{1}{5}}xy+2\sqrt{\frac{4}{5}yz}}\\ \le\frac{\sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

例2.8

已知 $a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0, a + b + c = 1$，求 $\sqrt{4a+1} + \sqrt{4b+1} + \sqrt{4c+1}$ 的最大值。

根据取等凑均值:

$$\begin{gathered} \sqrt{(4a+1)\frac{7}{3}}\le\frac{4a+1+\frac{7}{3}}{2} \end{gathered}$$ 化简系数: $$\begin{gathered} \sqrt{4a+1}\le\frac{2\sqrt{21}}{7}a+\frac{5\sqrt{21}}{7}\\ \sqrt{4b+1}\le\frac{2\sqrt{21}}{7}b+\frac{5\sqrt{21}}{7}\\ \sqrt{4c+1}\le\frac{2\sqrt{21}}{7}c+\frac{5\sqrt{21}}{7}\\ S\le\frac{2\sqrt{21}}{7}(a+b+c)+\frac{5\sqrt{21}}{7}=\sqrt{21} \end{gathered}$$

例2.9

(浙江大学) 设正数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 之和等于 1 ($n \geq 2$)，求证：

$$\frac{1}{x_1 - x_1^3} + \frac{1}{x_2 - x_2^3} + \cdots + \frac{1}{x_n - x_n^3} > 4$$

考虑局部不等式:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-x^3}\ge4x,x\in(0,1)\\ \Longleftrightarrow (2x^2-1)^2\ge0(x=\frac{\sqrt{2}}{2}) \end{gathered}$$

显然,不可能每个$x$都是$\frac{\sqrt{2}}{2}$,Q.E.D

例2.10

已知 $a_i > 0$，且 $a_1a_2a_3\cdots a_n = 1$，求 $(a_1+2)(a_2+2)\cdots(a_n+2)$ 的最小值。

仍旧抓住等号的手: $$\begin{gathered} (a_1+1+1)(a_2+1+1)\cdots(a_n+1+1)\\ \ge3^n\sqrt[3]{a_1a_2a_3\cdots a_n}=3^n \end{gathered}$$

例2.11

已知 $x > 0$，求 $x^2 + \frac{16}{x}$ 的最小值。

$$\begin{gathered} x^2+\frac{8}{x}+\frac{8}{x}\\ \ge3\sqrt[3]{8^2}=12(x=2) \end{gathered}$$

例2.12

已知$x\gt0$,求$x^2+\frac{1}{x^3}$的最小值.

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{x^2}{3}+\frac{1}{2x^3}+\frac{1}{2x^3}\\ \ge5\sqrt[5]{\frac{1}{3^3\cdot2^2}}=\frac{5}{6}\sqrt[5]{72} \end{gathered}$$

例2.13

已知$0\lt x\lt1$,求$x^2\sqrt{1-x}$的最值.

下确界显然为0,无最小值,考虑最大值:

$$\begin{gathered} x^2\sqrt{1-x}\\ =\sqrt{x^4(1-x)}\\ =\frac{1}{2}\sqrt{x\cdot x\cdot x\cdot x(4-4x)}\le\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{4}{5})^5}=\frac{16\sqrt{5}}{125}(x=\frac{4}{5}) \end{gathered}$$

例2.14

设 $x > -\frac{1}{2}$，则 $f(x) = x^2 + x + \frac{4}{2x+1}$ 的最小值为______。

换元分母:$t=2x+1\gt0$

$$\begin{gathered} f(x)=(\frac{t-1}{2})^2+\frac{t-1}{2}+\frac{4}{t}\\ =\frac{t^2}{4}+\frac{4}{t}-\frac{1}{4}\\ =\frac{t^2}{4}+\frac{2}{t}+\frac{2}{t}-\frac{1}{4}\ge3-\frac{1}{4}=\frac{11}{4}(t=2,x=\frac{1}{2}) \end{gathered}$$

例2.15

设 $a + 3b = 3$，求代数式 $3^a + 9^b$ 的最小值。

$$\begin{gathered} 3^a+9^b=3^a+3^{2b}\\ =\frac{3^a}{2}+\frac{3^a}{2}+\frac{3^{2b}}{3}+\frac{3^{2b}}{3}+\frac{3^{2b}}{3}\\ \ge5\sqrt[5]{\frac{3^{2a+6b}}{2^2\cdot3^3}}=5\sqrt[5]{\frac{3^3}{2^2}}=\frac{5}{2}(15)^\frac{3}{5} \end{gathered}$$

例2.16

设 $a > b > 0$，求证 $\sqrt{2a^3} + \frac{3}{ab - b^2} \ge 10$。

① $\ge \sqrt{2} \cdot (2\sqrt{xy})^3 + \frac{3}{xy}$ $$= 8\sqrt{2}(xy)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{xy}$$ $$= 4\sqrt{2}(xy)^{\frac{3}{2}} + 4\sqrt{2}(xy)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{xy}$$ $$\ge 5\sqrt[5]{32} = 10$$ ② $\ge \sqrt{2}(x+y)^3 + \frac{12}{(x+y)^2}$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)^3 + \frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)^3 + \frac{4}{(x+y)^2} + \frac{4}{(x+y)^2} + \frac{4}{(x+y)^2}$$ $$\ge 5\sqrt[5]{32} = 10$$

例2.17

设 $a,b,c$ 是正实数，且 $a + b + c = 1$，求证：$\frac{1}{a+bc} + \frac{1}{b+ac} + \frac{1}{c+ab} \ge \frac{27}{4}$。

等号显然是$a=b=c=\frac{1}{3}$. $$\begin{gathered} \frac{1}{a+bc}\\ =\frac{1}{a(a+b+c)+bc}\\ =\frac{1}{(a+b)(a+c)}\\ S\ge3\sqrt[3]{\frac{1^3}{(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}}\\ \ge3\sqrt[3]{\frac{1}{(\frac{4}{6})^6}}=\frac{27}{4} \end{gathered}$$

例2.18

已知正实数 $a,b$ 满足 $ab(a+b) = 4$，则 $2a + b$ 的最小值为$\underline{\quad\quad}$。

$$\begin{gathered} 4uv=(ua)(vb)(a+b)\le(\frac{(u+1)a+(v+1)b}{3})^3\\ \frac{u+1}{v+1}=2,ua=vb=a+b=k\\ u=2v+1,a=\frac{k}{2v+1},b=\frac{k}{v}\\ \frac{1}{v}+\frac{1}{2v+1}=1\\ \Longrightarrow v=\frac{1+\sqrt{3}}{2},u=2+\sqrt{3}\\ \frac{\frac{3+\sqrt{3}}{2}(2a+b)}{3}\ge \sqrt[3]{2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+2)}=1+\sqrt{3}\\ 2a+b\ge2\sqrt{3} \end{gathered}$$

或者一个更考验注意力的解法:

$$\begin{gathered} (2a+b)^2=4a(a+b)+b^2\ge\frac{16}{b}+b^2\ge12\\ \Longrightarrow 2a+b\ge2\sqrt{3} \end{gathered}$$

例2.19

设 $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$，求证：$n(n+1)^{1/n} - n < S_n < n - (n-1)n^{-1/(n-1)} \quad (n > 1)$。

Key:1的配对 $$\begin{gathered} S_n+n=\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\cdots+\frac{n+1}{n}\ge n(n+1)^\frac{1}{n}\\ n-S_n=0+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{n-1}{n}\ge(n-1)(\frac{1}{n})^\frac{1}{n-1} \end{gathered}$$

例2.20

证明：$1 - \frac{1}{2012} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2013} \right) > \frac{1}{\sqrt[2012]{2013}}$。

仍然注意1的配对: $$\begin{gathered} \Longleftrightarrow 2012-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2013})\gt 2012\sqrt[2013]{\frac{1}{2023}}\\ \Longleftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{2012}{2013}\gt 2012\sqrt[2013]{\frac{1}{2023}} \end{gathered}$$

例2.21

已知 $m, n$ 是正整数，且 $1 < m < n$，求证：$(1+m)^n > (1+n)^m$。 $$\begin{gathered} (1+n)^m\cdot\underbrace{1 \times 1 \times \cdots \times 1}_{n-m\text{个}}\\ \lt(\frac{(n-m)+m(1+n)}{n})^n=(1+m)^n \end{gathered}$$

例2.22

设 $x_1, x_2, \dots, x_{n+1} > 0$，满足 $\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} + \dots + \frac{1}{1+x_{n+1}} = 1$，求证：$x_1x_2\cdots x_{n+1} \ge n^{n+1}$。

取等条件:全为n.

用换元法利用条件: $$\begin{gathered} \frac{1}{1+x_i}=a_i\\ x_i=\frac{1}{a_i}-1\\ x_i=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n+1}}{a_i}-1\\ x_i=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{i-1}+a_{i+1}+\cdots+a_{n+1}}{a_i}\\ \ge\frac{n\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{n+1}}}{a_i}(i=1,2,3,\cdots,n+1) \end{gathered}$$

全部累乘即证